Question

【題目】三人獨立破譯同一份密碼．已知三人各自破譯出密碼的概率分別為 ，且他們是否破譯出密碼互不影響． （Ⅰ）求恰有二人破譯出密碼的概率；
（Ⅱ）“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大？說明理由．

Answer 1

【答案】解：記“第i個人破譯出密碼”為事件A1（i=1，2，3），

依題意有 ，

且A1，A2，A3相互獨立．

（Ⅰ）設“恰好二人破譯出密碼”為事件B，則有

B=A1A2 +A1 A3+ A2A3，

且A1A2 ，A1 A3， A2A3彼此互斥

于是P（B）=P（A1A2 ）+P（A1 A3）+P（ A2A3）

=

= ．

答：恰好二人破譯出密碼的概率為 ．

（Ⅱ）設“密碼被破譯”為事件C，“密碼未被破譯”為事件D．

D= ，且 ， ， 互相獨立，則有

P（D）=P（ ）P（ ）P（ ）= = ．

而P（C）=1﹣P（D）= ，

故P（C）＞P（D）．

答：密碼被破譯的概率比密碼未被破譯的概率大．

【解析】根據題意，記“第i個人破譯出密碼”為事件A1（i=1，2，3），分析可得三個事件的概率且三個事件相互獨立；（Ⅰ）設“恰好二人破譯出密碼”為事件B，則B包括彼此互斥的A1A2 A1 A3+ A2A3，由互斥事件的概率公式與獨立事件的乘法公式計算可得答案；（Ⅱ）設“密碼被破譯”為事件C，“密碼未被破譯”為事件D，則D= ，由獨立事件的乘法公式計算可得D的概率，再由對立事件的概率公式可得C的概率，比較可得答案．