Question

在數列{a_n}中，a1=1，an+1•

an

=8
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）設b_n=log₂a_n，求證：{b_n-2}為等比數列；
（Ⅲ）求{a_n}的前n項積T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵a2•

a1

=8，a1=1，
∴a₂=8．
∵a3•

a2

=8，a1=8，
∴a3=2

2

．
（Ⅱ）證明：∵

bn+1-2

bn-2

=

log2an+1-2

log2an-2

=

log2 8 an -2

log2an-2

=

3- 1 2 log2an-2

log2an-2

═

1

2

×

2-log2an

log2an-2

=-

1

2

．
∴{b_n-2}為等比數列，首項為b₁-2，即為-2，其公比為-

1

2

．
（Ⅲ）設數列{b_n-2}的前n項和為S_n

Sn= -2(1-(- 1 2 )n) 1+ 1 2 =b1+b2+b3+…+bn-2n=log2a1+log2a2+…log2an-2n =log2Tn-2n

．
∴log2Tn=

4

3

[(-

1

2

)n-1]+2n，
∴Tn=2

4

3

[(-

1

2

)n-1]+2n．