Question

設數列{x_n}的所有項都是不等于1的正數,前n項和為S_n,已知點P_n(x_n,S_n)在直線y=kx+b上(其中,常數k≠0,且k≠1),又y_n=log_0.5x_n.

(1)求證:數列{x_n}是等比數列;

(2)如果y_n=18-3n,求實數k,b的值;

(3)如果存在t,s∈N^*,s≠t，使得點（t,y_s）和（s,y_t）都在直線y=2x+1上,試判斷,是否存在自然數M,當n＞M時,x_n＞1恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)證明：∵點P_n,P_n+1都在直線y=kx+b上,∴=k,得(k-1)x_n+1=kx_n.

∵常數k≠0,且k≠1,∴(非零常數).∴數列{x_n}是等比數列.

(2)由y_n=log_0.5x_n,得x_n==8^n-6=8^-58^n-1,∴=8,得k=.

由P_n在直線上,得S_n=kx_n+b,令n=1得b=S₁x₁=x₁=.

(3)x_n＞1恒成立等價于y_n＜0,

∵存在t,s∈N，使得(t,y_s)和（s,y_t)都在y=2x+1上,∴y_s=2t+1,①

y_t=2s+1,②

①-②,得y_s-y_t=2(t-s).易證{y_n}是等差數列,設其公差為d,則有y_s-y_t=(s-t)d,

∵s≠t,∴d=-2＜0.①+②,得y_s+y_t=2(t+s)+2,

又y_s+y_t=y₁+(s-1)(-2)+y₁+(t-1)(-2)=2y₁-2(s+t)+4,

由2y₁-2(s+t)+4=2(t+s)+2,得y₁=2(t+s)-1＞0,

即數列{y_n}是首項為正,公差為負的等差數列,

∴一定存在一個最小自然數M,使

即解得t+s＜M≤t+s+.∵M∈N,∴M=t+s,

即存在自然數M,其最小值為t+s,使得當n＞M時,x_n＞1恒成立.