Question

設數列{x_n}的所有項都是不等于1的正數，前n項和為S_n，已知點P_n（x_n，S_n）在直線y=kx+b上，（其中，常數k≠0，且k≠1），又y_n=log_0.5x_n．
（1）求證：數列{x_n}是等比數列；
（2）如果y_n=18-3n，求實數k，b的值；
（3）如果存在t，s∈N^*，s≠t，使得點（t，y_s）和（s，y_t）都在直線y=2x+1上，試判斷，是否存在自然數M，當n＞M時，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=S_n+1-S_n著手考慮，把點P_n、P_n+1的坐標代入直線y=kx+b，然后兩式相減得x_n+1與x_n的關系式，最后整理為等比數列的形式即可．
（2）由（1）知{x_n}是等比數列，則根據條件消去y_n得x_n與n的關系式，此時與等比數列通項x_n=x₁q^n-1相比較，易得x₁與q，進而可求得k與b．
（3）由{x_n}是等比數列且y_n=log_0.5x_n可得數列{y_n}為等差數列；由y_s、y_t作差得數列{y_n}是d=-2的等差數列；所以當n＞M時，x_n＞1恒成立問題應利用y_n=log_0.5x_n轉化為y_n＜0恒成立的問題；再把數列{y_n}的首項用s、t的關系式表示出來，則可表示出數列{y_n}的通項；最后列不等式組，解出M，即證明問題．

解答：解：（1）∵點P_n（x_n，S_n），P_n+1（x_n+1，S_n+1）都在直線y=kx+b上，
∴S_n=kx_n+b，S_n+1=kx_n+1+b
兩式相減得S_n+1-S_n=kx_n+1-kx_n，即x_n+1=kx_n+1-kx_n，
∵常數k≠0，且k≠1，∴

xn+1

xn

=

k

k-1

（非零常數）
∴數列x_n是等比數列．
（2）由y_n=log_0.5x_n，得xn=(

1

2

)yn=8n-6=8-58n-1，
∴

k

k-1

=8，得k=

8

7

．
又P_n在直線上，得S_n=kx_n+b，
令n=1得b=S1-

8

7

x1=-

1

7

x1=-

8-5

7

．
（3）∵y_n=log_0.5x_n∴當n＞M時，x_n＞1恒成立等價于y_n＜0恒成立．
又y_n=log_0.5x_n=log_0.5（x₁•q^n-1）=nlog_0.5q+log_0.5

x1

q

∴數列{y_n}為等差數列
∵存在t，s∈N^*，使得（t，y_s）和（s，y_t）都在y=2x+1上，
∴y_s=2t+1 ①，y_t=2s+1 ②．
①-②得：y_s-y_t=2（t-s），
∵s≠t∴y_n是公差d=-2＜0的等差數列
①+②得：y_s+y_t=2（t+s）+2，
又y_s+y_t=y₁+（s-1）•（-2）+y₁+（t-1）•（-2）=2y₁-2（s+t）+4
由2y₁-2（s+t）+4=2（t+s）+2，得y₁=2（t+s）-1＞0，
即：數列{y_n}是首項為正，公差為負的等差數列，
∴一定存在一個最小自然數M，使

yM≥0 yM+1＜0

，即

2(t+s)-1+(M-1)(-2)≥0 2(t+s)-1+M(-2)＜0

解得t+s-

1

2

＜M≤t+s+

1

2

．∵M∈N^*，∴M=t+s．
即存在自然數M，其最小值為t+s，使得當n＞M時，x_n＞1恒成立．

點評：a_n+1=S_n+1-S_n是實現數列{a_n}，由其前n項和S_n向a_n轉化的重要橋梁；要熟悉等差數列的解析式形式：a_n=An+B即一次函數型，等比數列的解析式形式為：a_n=Aqⁿ指數型函數．