Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．E、F分別為線段AB、D₁C上的點．
（Ⅰ）若E、F分別為線段AB、D₁C的中點，求證：EF∥平面AD₁；
（Ⅱ）已知二面角D₁-EC-D的大小為

π

6

，求AE的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證EF∥平面AD₁，可利用平面EFG∥平面AD₁進行證明，取DC的中點G，連接FG，GE，而FG∥DD₁，DD₁?平面AD₁，根據線面平行的判定定理可知FG∥平面AD₁，同理可證GE∥平面AD₁，且FG∩GE=G，從而平面EFG∥平面AD₁，EF?平面EFG，根據面面平行的性質可知EF∥平面AD₁；
（Ⅱ）根據D₁D⊥平面ABCD，過D在平面ABCD內作DH⊥EC于H，連接D₁H，而DH是D₁H在平面ABCD內的射影，則∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角，在△DHD₁中，根據tan∠DHD₁值求出DH，根據面積求出EC，最后根據EC²=1+EB²求出所求即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：取DC的中點G，連接FG，GE．
∵FG∥DD₁，DD₁?平面AD₁，
∴FG∥平面AD₁．
同理：GE∥平面AD₁，且FG∩GE=G，
∴平面EFG∥平面AD₁，EF?平面EFG，
∴EF∥平面AD₁．
（Ⅱ）D₁D⊥平面ABCD，過D在平面ABCD內作DH⊥EC于H，連接D₁H．
∵DH是D₁H在平面ABCD內的射影，
∴D₁H⊥EC．
∴∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角．
即∠DHD₁=

π

6

．
在△DHD₁中，tan∠DHD₁=

3

3

，
∴DH=

3

，S_△DEC=

1

2

×2×1=

1

2

×EC×

3

，
∴EC=

2 3

3

，
∴EC²=1+EB²，
∴EB=

3

3

，
∴AE=2-

3

3

．

點評：本題主要考查了平面與平面平行的判定，以及與二面角有關的立體幾何綜合題，同時考查了空間想象能力、分析推理能力，屬于中檔題．