Question

已知⊙C的圓心在x軸上，直線y=x截⊙C所得弦長(zhǎng)為2，且⊙C過(guò)點(diǎn)(2，

5

)．
（1）求⊙C方程；
（2）設(shè)P（x，y）為⊙C上任一點(diǎn)，求（x-1）²+（y+3）²的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用直線y=x截⊙C所得弦長(zhǎng)為2，且⊙C過(guò)點(diǎn)(2，

5

)，求出圓心坐標(biāo)與半徑，從而可求⊙C方程；
（2）利用圓的參數(shù)方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求（x-1）²+（y+3）²的最大值．

解答：解：（1）設(shè)圓心（a，0），則
∵直線y=x截⊙C所得弦長(zhǎng)為2，且⊙C過(guò)點(diǎn)(2，

5

)
∴(

|a|

2

)2+12=(a-2)2+5，解得a=4，
∴所求圓的方程為（x-4）²+y²=9
（2）設(shè)

x=4+3cosθ y=3sinθ

，故（x-1）²+（y+3）²=（3+3cosθ）²+（3sinθ+3）²
=9（3+2sinθ+2cosθ）=9[3+2

2

sin(θ+

π

4

)]≤27+18

2

∴（x-1）²+（y+3）²的最大值為27+18

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．