Question

已知函數f(x)＝－x³＋ax²－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是________．

Answer 1

－13

求導得f′(x)＝－3x²＋2ax，
由函數f(x)在x＝2處取得極值知
f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x³＋3x²－4，
f′(x)＝－3x²＋6x，
易知f(x)在[－1,0)上單調遞減，在(0,1]上單調遞增，
∴當m∈[－1,1]時，
f(m)_min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x²＋6x的圖像開口向下，
且對稱軸為x＝1，
∴當n∈[－1,1]時，
f′(n)_min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值為－13.