Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F為AE上一點，且∠BFE=∠C．
（1）求證：△ABF∽△EAD．
（2）若AB=4，∠1=30°，AD=3，求BF的長．

Answer 1

分析：（1）欲證：△ABF∽△EAD，根據相似三角形的判定，只須證明它們的兩對對應角相等即可，由平行可得∠1=∠2，再根據：“∠BFE=∠C”結合平角相等，再證得：∠BFA=∠ADE即可；
（2）在Rt△ABE中，利用已恬角：∠1=30°，再由正弦定理得即可求得BF的長．

解答：解：（1）證明：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，
又∵∠BFE=∠C，∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA
∴∠BFA=∠ADE，∴△ABF∽△EAD．
（2）在Rt△ABE中，∠1=30°，
由正弦定理得：

AE

sin90°

=

AB

sin60°

，
∴AE=

4

sin60°

=

8 3

3

，
又

BF

AD

=

AB

AE

，∴BF=

AB

AE

•AD=

3 3

2

．

點評：本小題主要考查相似三角形的判定、正弦定理的應用等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．