Question

（08年內江市三模） (12分) 如圖，已知平面，平面，三角形為等邊三角形，

，為的中點

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求二面角的大小。

 

 

 

Answer 1

解析：（1）證明：取的中點，連，

∵為的中點 

∴，而平面，平面，

故，又，

∴四邊形為平行四邊形

∴      ……………………………………. 2分

所以平面      ……………………………………. 3分

（2）∵為等邊三角形，∴，而

故平面      ……………………………………. 5分

∵，∴平面

所以平面平面      ……………………. 7分

（3）在平面內作交于，在平面內作交于，連  ∵平面平面  ∴平面，由三垂線定理得

∴為二面角的平面角      ……………………………………. 9分

設，則，

∴      …… 10分

又，其中  ∴     …11分

∴

所以二面角的大小為（或）      ………. 12分

方法二：

設，則；由已知得

建立如圖所示的坐標系，      ………………………………. 1分

則：

∵為的中點，∴      ………2分

（1）證明：      ………3分

∵，A不在平面內，∴平面      ………… 4分

（2）∵   ……………. 5分

∴，∴      ………………………6分

∴平面，又平面

∴平面平面      ………………………………. 7分

（3）設平面的法向量為

由可得：      ……………………………. 8分

設平面的法向量為

由可得：      …………………………9分

∴      ………………………………. 11分

∴二面角的大小為      ………………………………. 12分