Question

如圖，已知點F（1，0），直線l: x=-1,P為平面上的動點，過P作l的垂線，垂足為點Q，且?

（I）求動點P的軌跡C的方程;

（II）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M.

（1）已知的值;

（2）求||?||的最小值.

Answer 1

本小題考查直線、拋物線、向量等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力.

解法一：（I）設點P（x,y）,則Q（-1，y）,由得：

(x+1,0)?(2,-y)=(x-1,y)?(-2,y),化簡得C：y²=4x.

(II)（1）設直線AB的方程為：

x=my+1(m≠0).

設A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),又M（-1,-）.

聯立方程組,消去x得：

y²-4my-4=0,

△=(-4m)²+12>0,

由得：

，整理得：

,

∴

=

=-2-

=0.

解法二：（I）由

∴?，

∴=0,

∴

所以點P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y²=4x.

(II)(1)由已知

則：…………①

過點A、B分別作準l的垂線，垂足分別為A₁、B₁,

則有：…………②

由①②得：

（II）（2）解：由解法一：

?＝（）²|y₁-y_M||y₂-y_M|

                       =(1+m²)|y₁y₂-y_M(y₁+y₂)+y_M²|

                       =(1+m²)|-4+×4m+|
  =

                       =4(2+m²+)  4(2+2)=16.

當且僅當，即m=1時等號成立，所以?最小值為16.