Question

設函數(shù)f（x）=x-（x+1）ln（x+1），
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)m∈[0，

1

2

]，使曲線y=f′（x）與曲線y=ln（x+

1

6

）及直線x=m所圍圖形的面積S為1+

2

3

ln2-ln3，若存在，求出一個m的值，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,定積分在求面積中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=-ln（x+1），當f′（x）＞0時，解得：-1＜x＜0，當f′（x）＜0時，解得：x＞0，從而f（x）在（-1，0）遞增，在（0，+∞）遞減；
（2）由（1）得：f（x）在[-

1

2

，0]上遞增，在[0，1]上遞減，又f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-

1

2

）=-

1

2

+

1

2

ln2，從而t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0）時，方程f（x）=t有兩個解；
（3）存在m=0滿足條件，理由：y=f′（x）與y=ln（x+

1

6

）交點為（

1

2

，ln

2

3

），則S=

∫	ln 2 3 -ln6

（e^y-

1

6

）dy+

∫

0 ln 2 3

（e^-y-1）dy=1+

2

3

ln2-ln3，問題解決．

解答： 解：（1）f′（x）=-ln（x+1），
當f′（x）＞0時，解得：-1＜x＜0，
當f′（x）＜0時，解得：x＞0，
∴f（x）在（-1，0）遞增，在（0，+∞）遞減；
（2）由（1）得：
f（x）在[-

1

2

，0]上遞增，在[0，1]上遞減，
又f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-

1

2

）=-

1

2

+

1

2

ln2，
∴f（1）-f（-

1

2

）＜0，
∴t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0）時，方程f（x）=t有兩個解；
（3）存在m=0滿足條件，
理由：y=f′（x）與y=ln（x+

1

6

）交點為（

1

2

，ln

2

3

），
y=f′（x）與y軸交點為（0，0），
y=ln（x+

1

6

）與y軸交點為（0，-ln6），
則S=

∫	ln 2 3 -ln6

（e^y-

1

6

）dy+

∫

0 ln 2 3

（e^-y-1）dy
=1+

2

3

ln2-ln3，
∴存在m=0滿足條件．

點評：本題考察了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求參數(shù)的范圍問題，定積分在面積中的應用問題，是一道綜合題．