Question

【題目】等比數列{an}中，已知a1=1，a4=8，若a3 ， a5分別為等差數列{bn}的第4項和第16項．
（1）求數列{an}﹑{bn}的通項公式；
（2）令cn=anbn ， 求數列{cn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}公比為q，

∴a4=a1q3=8，即q3=8，即q=2，

∴an=a1qn﹣1=2n﹣1，

∴a3=4，a5=16，

∴b4=4，b16=16，

由等差數列公差為d，

∴d= = =1，

∴bn=b16+（n﹣16）×1=n，

數列{an}通項公式an=2n﹣1，{bn}的通項公式bn=n

（2）解：cn=anbn=n2n﹣1，

數列{cn}的前n項和Sn．

∴Sn=11+22+322+…+n2n﹣1，①

2Sn=12+222+323+…+n2n，②

①﹣②，得﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n2n，

= ﹣n2n，

=（1﹣n）2n﹣1，

Sn=（n﹣1）2n+1，

數列{cn}的前n項和Sn，Sn=（n﹣1）2n+1

【解析】（1）由等比數列的通項公式，代入即可求得公比q，由b4=4，b16=16，根據等差數列性質即可求得公差d，即可求得數列{an}﹑{bn}的通項公式；（2）由（1）可知：cn=anbn=n2n﹣1 ， 利用錯位相減法能求出數列{cn}的前n項和Sn ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等比數列的通項公式（及其變式）(通項公式：)，還要掌握數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)的相關知識才是答題的關鍵．