Question

已知拋物線方程為y²=2px（p＞0）．
（1）若點(2，2

2

)在拋物線上，求拋物線的焦點F的坐標和準線l的方程；
（2）在（1）的條件下，若過焦點F且傾斜角為60°的直線m交拋物線于A、B兩點，點M在拋物線的準線l上，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，求證：k_MA、k_MF、k_MB成等差數列；
（3）對（2）中的結論加以推廣，使得（2）中的結論成為推廣后命題的特例，請寫出推廣命題，并給予證明．
說明：第（3）題將根據結論的一般性程度給予不同的評分．

Answer 1

分析：（1）由(2，2

2

)在拋物線上，得p=2，由此能導出拋物線的焦點F的坐標和準線l的方程．
（2）拋物線的方程為y²=4x，過焦點F（1，0）且傾斜角為60°的直線m的方程為y=

3

(x-1)，由

y2=4x y= 3 (x-1)

可得3x²-10x+3=0，解得點A、B的坐標為A(3，2

3

)，B(

1

3

，-

2 3

3

)，由此能導出k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．
（3）①推廣命題：若拋物線的方程為y²=4x，過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點，M為拋物線準線上的一點，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，則k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．再由拋物線的性質和韋達定理進行證明．
②推廣命題：若拋物線的方程為y²=2px（p＞0），過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點，M為拋物線準線上的一點，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，則k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．再由拋物線的性質結合分類討論思想進行證明．

解答：解：（1）∵(2，2

2

)在拋物線上，由(2

2

)2=2p×2得p=2
∴拋物線的焦點坐標為F（1，0），
準線l的方程為x=-1
（2）證明：∵拋物線的方程為y²=4x，過焦點F（1，0）且傾斜角為60°的直線m的方程為y=

3

(x-1)
由

y2=4x y= 3 (x-1)

可得3x²-10x+3=0x1=3，x2=

1

3

解得點A、B的坐標為A(3，2

3

)，B(

1

3

，-

2 3

3

)
∵拋物線的準線方程為x=-1，設點M的坐標為M（-1，t），
則kMA=

2 3 -t

4

，kMB=-

2 3 +3t

4

，kMF=-

t

2

，
由kMA+kMB=

2 3 -t

4

-

2 3 +3t

4

=-t=2×(-

t

2

)=2kMF
知k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．
（3）本小題可根考生不同的答題情況給予評分
①推廣命題：若拋物線的方程為y²=4x，過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點，M為拋物線準線上的一點，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，則k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．
證明：
拋物線y²=4x的焦點坐標為F（1，0），當直線l₁平行于y軸時，
由（2）知命題成立．
設M點坐標為M（-1，t）
當直線m不平行于y軸時，設m的方程為y=k（x-1），其與拋物線的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則有x1=

y 2 1

4

，x2=

y 2 2

4

由

y2=4x y=k(x-1)

得ky²-4y-4k=0，即y₁y₂=-4kMA=

y1-t

x1+1

=

y1-t

y 2 1 4 +1

=

4(y1-t)

y 2 1 +4

，kMB=

y2-t

x2+1

=

4(y2-t)

y 2 2 +4

kMA+kMB=

4(y1-t)

y 2 1 +4

+

4(y2-t)

y 2 2 +4

=

4(y1-t)( y 2 2 +4)+4(y2-t)( y 2 1 +4)

( y 2 1 +4)( y 2 2 +4)

=

4[(y1 y 2 2 + y 2 1 y   2 +4(y1+y2)-t( y 2 2 + y 2 1 -8)]

y 2 1 y 2 2 +4( y 2 1 + y 2 2 )+16

=

-4t( y 2 2 + y 2 1 +8)

4( y 2 1 + y 2 2 +8)

=-tkMF=

0-t

1+1

=-

t

2

，∴k_MA+k_MB=2k_MF，即k_MA、k_MF、k_MB成等差數列
②推廣命題：若拋物線的方程為y²=2px（p＞0），過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點，M為拋物線準線上的一點，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，則k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．
證明：拋物線的焦點F的坐標為F(

p

2

，0)，準線方程為x=-

p

2

，設M點坐標為M(-

p

2

，t)
設m與拋物線的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則有x1=

y 2 1

2p

，x2=

y 2 2

2p

（ⅰ）當直線m平行于y軸時，直線m的方程為x=

p

2

，
此時有A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，∴y₁y₂=-p²
（ⅱ）當直線m不平行于y軸時，直線m的方程可設為y=k(x-

p

2

)
由

y2=2px y=k(x- p 2 )

得

k

2p

y2-y-

pk

2

=0∴y₁y₂=-p²kMA=

y1-t

x1+ p 2

=

y1-t

y 2 1 2p + p 2

=

2p(y1-t)

y 2 1 +p2

，kMB=

y2-t

x21+ p 2

=

y2-t

y 2 2 2p + p 2

=

2p(y2-t)

y 2 2 +p2

kMA+kMB=

2p(y1-t)

y 2 1 +p2

+

2p(y2-t)

y 2 2 +p2

=2p

(y1-t)( y 2 2 +p2)+(y2-t)( y 2 1 +p2)

( y 2 1 +4)( y 2 2 +4)

=2p

-t( y 2 1 + y 2 2 +2p2)

p2( y 2 1 + y 2 2 +2p2)

=-

2t

p

kMF=

0-t

p 2 + p 2

=-

t

p

，
∴k_MA+k_MB=2k_MF，即k_MA、k_MF、k_MB成等差數列

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．