Question

已知△ABC，且AC=BC，若P₀是邊AB上一定點，若對于邊AB上任一點P，恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

則 （　　）

• A、

  P0B

  =

  1

  2

  AB

• B、

  P0B

  =

  1

  3

  AB

• C、

  P0B

  =

  2

  3

  AB

• D、

  P0B

  =

  1

  4

  AB

Answer 1

分析：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，設AB=4，C（0，b），P（x，0），x∈[-2，2]，P₀（m，0），然后根據對于邊AB上任一點P，恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

建立關系式，轉化成坐標關系，從而可求出所求．

解答：解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，
∵△ABC，且AC=BC，
∴設AB=4，C（0，b），P（x，0），x∈[-2，2]，P₀（m，0），
則A（-2，0），B（2，0），
∴

PB

=（2-x，0），

PC

=（-x，b），

P0B

=（2-m，0），

P0C

=（-m，b），
∵對于邊AB上任一點P，恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，
∴（2-x）（-x）≥（2-m）（-m）在x∈[-2，2]上恒成立，
即m²-2m≤x²-2x在x∈[-2，2]上恒成立，
而函數y=x²-2x在x∈[-2，2]上的最小值為-1，
則m²-2m≤-1，即（m-1）²≤0，
∴m=1，即

P0B

=

1

4

AB

．
故選D．

點評：本題主要考查了平面向量的運算，向量的數量積的概念，向量運算的幾何意義的應用，還考查了利用向量解決簡單的幾何問題的能力和轉化的思想．屬于中檔題．