Question

已知△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D為AB的中點，E，F分別在線段AC，BC上，且EF∥AB，EF交CD于G，把△ADC沿CD折起，如圖所示，

（1）求證：E₁F∥平面A₁BD；
（2）當二面角A₁-CD-B為直二面角時，是否存在點F，使得直線A₁F與平面BCD所成的角為60°，若存在求CF的長，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據同一平面內CD⊥AB且EF⊥CD，證出EF∥CD．由此可得GE₁∥DA₁且GF∥BD，從而得到GE₁∥平面A₁BD且
GF∥平面A₁BD，結合面面平行判定定理得到平面E₁FG∥平面A₁BD，即可得到E₁F∥平面A₁BD；
（2）由面面垂直的判定與性質，證出A₁D⊥平面BCD，得A₁F在平面BCD內的射影為DF，∠A₁FD就是A₁F與平面BCD所成角，即∠A₁FD=60°．Rt△A₁FD中，由A₁D=

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，算出DF=1=CD，進而得到△CDF為等邊三角形，可得CF=1，即存在滿足條件的點F．

解答：解：（1）∵AC=BC，且D為AB的中點，∴CD⊥AB，
又∵EF∥AB，∴EF⊥CD…（2分）
在空間幾何體C-A₁BD中，
∵GE₁∥DA₁，GE₁?平面A₁BD，DA₁?平面A₁BD，∴GE₁∥平面A₁BD
同理可得：GF∥平面A₁BD
∵GE₁、GF是平面E₁FG內的相交直線，
∴平面E₁FG∥平面A₁BD…（5分）
∵E₁F?平面E₁FG，∴E₁F∥平面A₁BD…（7分）
（2）∵二面角A₁-CD-B為直二面角，∴平面A₁CD⊥平面BCD
∵A₁D⊥CD，平面A₁CD∩平面BCD=CD，A₁D?平面A₁CD
∴A₁D⊥平面BCD，…（9分）
可得A₁F在平面BCD內的射影為DF，得∠A₁FD就是A₁F與平面BCD所成角，
即∠A₁FD=60°…（11分）
∵Rt△A₁FD中，A₁D=

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，∴DF=1=CD
∵△CDF中，∠DCF=60°，∴△CDF為等邊三角形，可得CF=1．
因此，存在點F使得直線A₁F與平面BCD所成的角為60°，此時CF的長為1．…（14分）

點評：本題給出平面折疊問題，求證線面平行并探索線面所成角的問題．著重考查了線面平行、面面平行的判定定理、面面垂直的性質和直線與平面所成角求法等知識，屬于中檔題．