Question

已知函數f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）當k=1時，求函數f（x）的最大值；
（2）若函數f（x）沒有零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當k=1時，利用導數研究函數的單調習慣，根據函數的單調性求函數f（x）的最大值．
（2）若函數f（x）沒有零點，分k≤0和k＞0兩種情況，分別求得實數k的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）當k=1時，f（x）=ln（x-1）-（x-1）+1=ln（x-1）-x+2，f′(x)=

2-x

x-1

，
函數f（x）的定義域為（1，+∞），令f′（x）=0，求得x=2，
∵當x∈（1，2）時，f′（x）＞0，當x∈（2，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，2）內是增函數，在（2，+∞）上是減函數
∴當x=2時，f（x）取最大值f（2）=0．
（2）函數f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1沒有零點，
即函數y=ln（x-1）的圖象與函數y=k（x-1）-1的圖象沒有交點．
①當k≤0時，由于函數y=ln（x-1）圖象與函數y=k（x-1）-1圖象有公共點，
∴函數f（x）有零點，不合要求．
②當k＞0時，f′(x)=

1

x-1

-k=

1+k-kx

x-1

=-

k(x- 1+k k )

x-1

，
令f′(x)=0，得x=

k+1

k

，∵x∈(1，

k+1

k

)時，f′(x)＞0，x∈(1+

1

k

，+∞)時，f′(x)＜0，
∴f(x)在(1，1+

1

k

)內是增函數，在[1+

1

k

，+∞)上是減函數，
∴f（x）的最大值是f(1+

1

k

)=-lnk，
∵函數f（x）沒有零點，∴-lnk＜0，求得k＞1．
綜上可得，實數k的取值范圍為（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數零點與方程的根的關系，利用導數研究函數的單調性，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．