Question

【題目】設(shè)f(x)=ax3+bx+c為奇函數(shù)其圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x-6y-7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)f/(x)的最小值為-12

（1）求a,b,c的值

（2）求函數(shù)極大值和極小值.

Answer 1

【答案】（1）a=2，b=﹣12，c=0（2）極大值是8，極大值是﹣8

【解析】

（1）先根據(jù)奇函數(shù)求出c的值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f'（x）的最小值求出b的值，最后依據(jù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率求出c的值即可；

（2）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求得區(qū)間即為單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的極值．

（1）∵ f（x）為奇函數(shù)，

∴ f（﹣x）=﹣f（x）

即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c

∴ c=0

∵ f'（x）=3ax2+b的最小值為﹣12

∴ b=﹣12

又直線x﹣6y﹣7=0的斜率為因此，f'（1）=3a+b=﹣6

∴ a=2，b=﹣12，c=0．

（2）f（x）=2x3﹣12x．f′（x）=6（x+）（x﹣），列表如下：

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，）和（，+∞），

∴ f（x）在[﹣1，3]上的極大值是f（）=8，最小值是f（）=﹣8．