Question

【題目】觀察下列各等式(i為虛數單位)：

(cos 1＋isin 1)(cos 2＋isin 2)＝cos 3＋isin 3；

(cos 3＋isin 3)(cos 5＋isin 5)＝cos 8＋isin 8；

(cos 4＋isin 4)(cos 7＋isin 7)＝cos 11＋isin 11；

(cos 6＋isin 6)(cos 6＋isin 6)＝cos 12＋isin 12．

記f(x)＝cos x＋isin x．

猜想出一個用f (x)表示的反映一般規律的等式，并證明其正確性；

Answer 1

【答案】f(x)f(y)＝f(x＋y)

【解析】

由已知中的式子，發現若，則，進而利用復數的運算法則和和差角公式，可證得結論.

f(x)f(y)＝(cos x＋isin x)(cos y＋isin y)

＝(cos xcos y－sin xsin y)＋(sin xcos y＋cos xsin y)i

＝cos(x＋y)＋isin(x＋y)

＝f(x＋y)．