Question

【題目】已知點F1、F2為雙曲線C：x2﹣ =1的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點M，∠MF1F2=30°．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1、P2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設F2，M的坐標分別為 ，

因為點M在雙曲線C上，所以 ，即 ，所以 ，

在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°， ，所以

由雙曲線的定義可知：

故雙曲線C的方程為：

（2）解：由條件可知：兩條漸近線分別為

設雙曲線C上的點Q（x0，y0），設兩漸近線的夾角為θ，

則點Q到兩條漸近線的距離分別為 ，

因為Q（x0，y0）在雙曲線C： 上，

所以 ，又cosθ=﹣ ，

所以 =﹣

【解析】（1）設F2 ， M的坐標分別為 ，求出|MF2|，Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，求出|MF1|，利用雙曲線的定義，即可求雙曲線C的方程；（2）求出兩條漸近線方程，可得點Q到兩條漸近線的距離，設兩漸近線的夾角為θ，可得 ，利用向量的數量積公式，即可求 的值．