Question

已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中a=2，c=

3

．
（Ⅰ）若sinC=

3

3

，求sinA的值；
（Ⅱ）設f(C)=

3

sinCcosC-cos2C，求f（C）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值；
（Ⅱ）由余弦定理列出關系式，將c，a及cosC的值代入得到關于b的方程，根據題意得到此方程有解，即根的判別式的值大于等于0，求出cosC的范圍，利用余弦函數的圖象與性質得出C的范圍，f（C）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡后，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由C的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質即可求出f（C）的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵a=2，c=

3

，sinC=

3

3

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：sinA=

asinC

c

=

2× 3 3

3

=

2

3

；
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理，c²=a²+b²-2ab•cosC，
∴3=b²+4-4bcosC，即b²-4cosC•b+1=0，
有題知關于b的一元二次方程應該有解，
令△=16cos²C-4≥0，解得：cosC≤-

1

2

（舍去）或cosC≥

1

2

，
∴0＜C＜

π

3

，
則f（C）=

3

2

sin2C-

1+cos2C

2

=sin（2C-

π

6

）-

1

2

，
∵-

π

6

＜2C-

π

6

≤

π

2

，
∴-1＜f（C）≤

1

2

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，一元二次方程根與系數的關系，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．