Question

函數f（x）=Asin（?x+φ）（其中A＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象如圖所示，把函數f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，再向下平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象．
（1）若直線y=m與函數g（x）圖象在x∈[0，

π

2

]時有兩個公共點，其橫坐標分別為x₁，x₂，求g（x₁+x₂）的值；
（2）已知△ABC內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3，g（C）=0．若向量

m

=(1，sinA)與

n

=(2，sinB)共線，求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）的圖象可得周期，可得ω，代點（

π

3

，0）結合φ的范圍可得其值，再由圖象變換可得g（x）圖象，由對稱性可得所求；（Ⅱ）由g（C）=0可得角C，
由向量共線可得sinB-2sinA=0．由正余弦定理可得ab的方程組，解方程組可得．

解答：解：（1）由函數f（x）的圖象可得T=4(

7π

12

-

π

3

)=

2π

ω

，解得ω=2，
又2×

π

3

+?=π，∴?=

π

3

，∴f(x)=sin(2x+

π

3

)，
由圖象變換，得g(x)=f(x-

π

4

)-1=sin(2x-

π

6

)-1，
由函數圖象的對稱性，有g(x1+x2)=g(

2π

3

)=-

3

2

；
（Ⅱ）∵g(C)=sin(2C-

π

6

)-1=0，∴sin(2C-

π

6

)=1
又∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

，
∵

m

與

n

共線，∴sinB-2sinA=0．
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，得b=2a，①
∵c=3，由余弦定理得9=a2+b2-2abcos

π

3

，②
解方程組①②可得

a= 3 b=2 3

點評：本題考查三角函數圖象和性質，涉及圖象的變換和正余弦定理，屬中檔題．