Question

某熱電廠積極推進節(jié)能減排工作，技術改造項目“循環(huán)冷卻水系統(tǒng)”采用雙曲線型冷卻塔（如右圖），以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，從而實現(xiàn)熱電系統(tǒng)循環(huán)水的零排放．
（1）冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，要求它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為20m，且雙曲線的離心率為，試求冷卻塔的高應當設計為多少？
（2）該項目首次需投入資金4000萬元，每年節(jié)能后可增加收入600萬元．投入使用后第一年的維護費用為30萬元，以后逐年遞增20萬元．為使年平均節(jié)能減排收益達到最大值，多少年后報廢該套冷卻塔系統(tǒng)比較適合？

Answer 1

【答案】分析：（1）先建立平面直角坐標系如圖．設雙曲線方程為．根據(jù)題意求得a，b的值得到標準方程，再將x=13和20代入求得|y|的值，從而得到冷卻塔的高．
（2）由題意得出n年后的年平均減排收益的表達式，再結(jié)合基本不等式求得其最小值即可得出多少年后報廢該套冷卻塔系統(tǒng)比較適合．
解答：解：（1）如圖，建立平面直角坐標系．設雙曲線方程為．
由題意可知，a=12，，解得．…（2分）
從而．…（3分）
∴雙曲線方程為．…（4分）
將x=13代入，解得；x=20代入，解得．…（6分）
所以，冷卻塔的高為 ．…（7分）
（2）n年后的年平均減排收益為=．…（12分）
當且僅當即n=20時等號成立．…（13分）
所以，20年后報廢該套冷卻塔系統(tǒng)比較適合．…（14分）
點評：本小題主要考查雙曲線的應用、雙曲線的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學應用能力．屬于基礎題．