Question

某熱電廠積極推進節能減排工作，技術改造項目“循環冷卻水系統”采用雙曲線型冷卻塔（如右圖），以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，從而實現熱電系統循環水的零排放．
（1）冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，要求它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為20m，且雙曲線的離心率為

34

3

，試求冷卻塔的高應當設計為多少？
（2）該項目首次需投入資金4000萬元，每年節能后可增加收入600萬元．投入使用后第一年的維護費用為30萬元，以后逐年遞增20萬元．為使年平均節能減排收益達到最大值，多少年后報廢該套冷卻塔系統比較適合？

Answer 1

分析：（1）先建立平面直角坐標系如圖．設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)．根據題意求得a，b的值得到標準方程，再將x=13和20代入求得|y|的值，從而得到冷卻塔的高．
（2）由題意得出n年后的年平均減排收益的表達式，再結合基本不等式求得其最小值即可得出多少年后報廢該套冷卻塔系統比較適合．

解答：解：（1）如圖，建立平面直角坐標系．設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)．
由題意可知，a=12，e=

c

a

=

c

12

=

34

3

，解得c=4

34

．…（2分）
從而b2=c2-a2=(4

34

)2-122=400．…（3分）
∴雙曲線方程為

x2

144

-

y2

400

=1．…（4分）
將x=13代入，解得|y|=

25

3

；x=20代入，解得|y|=

80

3

．…（6分）
所以，冷卻塔的高為 

25

3

+

80

3

=

105

3

 (m)．…（7分）
（2）n年后的年平均減排收益為

600n-[30n+ n(n-1) 2 ×20]-4000

n

=

-10n2+580n-4000

n

=-10(n+

400

n

)+580≤-10×2

n• 400 n

+580=180．…（12分）
當且僅當n=

400

n

即n=20時等號成立．…（13分）
所以，20年后報廢該套冷卻塔系統比較適合．…（14分）

點評：本小題主要考查雙曲線的應用、雙曲線的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、數學應用能力．屬于基礎題．