Question

【題目】某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現故障需要維修的概率為．

（1）問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于？

（2）已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修，能使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤．若該廠現有2名工人，求該廠每月獲利的均值．

Answer 1

【答案】（1）名；（2）萬元．

【解析】

（1）一臺機器運行是否出現故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現故障的概率為；4臺機器相當于4次獨立重復試驗，設出現故障的機器臺數為X，，求出對應概率值，寫出分布列，計算“每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修”的概率不少于90%的對應工人數；

（2）設該廠獲利為Y萬元，Y的所有可能取值為18，13，8，計算對應的概率值，求出分布列與數學期望值．

（1）設“機器出現故障設”為事件，則．

設出現故障的機器臺數為，則，

，

，

，

，

．

故的分布列為

	0	1	2	3	4

設該廠有名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修”為，，，，…，，這個互斥事件的和事件，則

	0	1	2	3	4

因為，所以至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于．

（2）設該廠獲利為萬元，則的所有可能取值為18，13，8，

，

，

．

故的分布列為

	18	13	8

所以，

故該廠獲利的均值為萬元．