Question

（本小題12分）橢圓的左、右焦點分別為、，直線經過點與橢圓交于兩點。
（1）求的周長；
（2）若的傾斜角為，求的面積。

Answer 1

（1），的周長為。
（2）。

本題考查三角形周長的求法和三角形面積的計算，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓的性質，注意橢圓定義、韋達定理在解題中的合理運用．
（1）由橢圓的定義，得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，又AF₁+BF₁=AB，所以，△ABF₂的周長=AB+AF₂+BF₂=4a．再由a²=4，能導出△ABF₂的周長．
（2）由F₁（-1，0），AB的傾斜角為 ，知直線AB的方程為y=x+1．由
消去x，得7y²-6y-9=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），借助韋達定理能夠求出△ABF₂的面積．
解：（1）由橢圓的定義，得，， ----------2分
又，所以的周長為。--------4分
又因為，所以，故的周長為。-----------5分
（2）由條件，得，因為的傾斜角為，所以斜率為，
故直線的方程為。-----------------6分
由消去，得， ------------------8分
設，解得， -------------10分
所以。------------------12分