Question

已知向量

OP

=（1，2），

OA

=（2，1），

OB

=（-2，4），設Q是直線OP上的一點（O為坐標原點），那么

QA

•

QB

的最小值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：首先設出Q的坐標，可得

QA

、

QB

的坐標；然后利用平面向量的運算法則求得

QA

•

QB

的表達式；最后根據二次函數的最值的求法，求出

QA

•

QB

的最小值即可．

解答： 解：因為Q是直線OP上的點，可設Q（λ，2λ），
則有

QA

（2-λ，1-2λ），

QB

（-2-λ，4-2λ），
所以

QA

•

QB

=（2-λ）（-2-λ）+（1-2λ）（4-2λ）
=λ²-4+4+4λ²-10λ
=5λ²-10λ
=5（λ-1）²-5，
因此λ=1時，

QA

•

QB

的最小值是-5．
故答案為：-5．

點評：本題主要考查了平面數量積的運算，考查了二次函數的最值的求法，屬于中檔題．