Question

已知數列{a_n}中，前n項和為S_n，點（a_n+1，S_n+1）在直線y=4x-2，其中n=1，2，3…，
（Ⅰ）設b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1，求證數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）令f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，求函數f（x）在點x=1處的導數f′（1）并比較f′（1）與
6n²-3n的大小．

Answer 1

解：（I）由已知點（a_n+1，S_n+1）在直線y=4x-2上．
∴S_n+1=4（a_n+1）-2．
即S_n+1=4a_n+2．（n=1，2，3，）
∴S_n+2=4a_n+1+2．
兩式相減，得S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n．
即a_n+2=4a_n+1-4a_n．（3分）
a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）．
∵b_n=a_n+1-2a_n，（n=1，2，3，）
∴b_n+1=2b_n．
由S₂=a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1．
解得a₂=5，b₁=a₂-2a₁=3．
∴數列{b_n}是首項為3，公式為2的等比數列．（6分）
（II）由（I）知b_n=3•2^n-1，
∵f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，
∴f′（x）=b₁+2b₂x+…+nb_nx^n-1．
從而f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n
=3+2•3•2+3•3•2²+…+n•3•2^n-1
=3（1+2•2+3•2²+…+n•3•2^n-1）（8分）
設T_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，
2T_n=2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．
兩式相減，得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=．
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
∴f′（1）=3（n-1）•2ⁿ+3．（11分）
由于f′（1）-（6n²-3n）=3[（n-1）•2ⁿ+1-2n²+n]
=3（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]．
設g（n）=f′（1）-（6n²-3n）．
當n=1時，g（1）=0，∴f′（1）=6n²-3n；
當n=2時，g（2）=-3＜0，∴f′（1）＜6n²-3n；
當n≥3時，n-1＞0，又2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ≥2n+2＞2n+1，
∴（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]＞0，即g（n）＞0，從而f′（1）＞6n²-3n．（14分）
分析：（I）由點（a_n+1，S_n+1）在直線y=4x-2上，知S_n+1=4a_n+2．所以a_n+2=4a_n+1-4a_n．再由b_n=a_n+1-2a_n，知b_n+1=2b_n．上此知數列{b_n}是首項為3，公比為2的等比數列．
（II）由b_n=3•2^n-1，f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，知f′（x）=b₁+2b₂x+…+nb_nx^n-1．從而f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n=3（1+2•2+3•2²+…+n•3•2^n-1）．T_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，由錯位相減法知T_n=（n-1）•2ⁿ+1．f′（1）=3（n-1）•2ⁿ+3．由f′（1）-（6n²-3n）=3[（n-1）•2ⁿ+1-2n²+n]能推導出f′（1）＞6n²-3n．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意不等式的合理運用．