Question

【題目】已知橢圓 經過點 ，且離心率為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設A，B是橢圓C的左，右頂點，P為橢圓上異于A，B的一點，以原點O為端點分別作與直線AP和BP平行的射線，交橢圓C于M，N兩點，求證：△OMN的面積為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓 經過點 ，且離心率為 ，
∴ ，解得a=2，b= ，
∴橢圓C的方程為 ．
證明：（Ⅱ）設P（x0 ， y0），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
①M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）在x軸同側，不妨設x1＞0，x2＜0，y1＞0，y2＞0，
射線OM的方程為y= ，射線ON的方程為y= ，
∴ ， ，且 ，
過M，N作x軸的垂線，垂足分別為M′，N′，
﹣
=
=
= = =﹣ ，
由 ，得 ，
即 = =2+x0 ，
同理， =2﹣x0 ， ∴ =4﹣ =2 ，即 ，
∴ ．
②M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）在x軸異側，同理①得 ，
綜合①②，△OMN的面積為定值
【解析】（Ⅰ）由橢圓經過點 ，且離心率為 ，列出方程給求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）設P（x0 ， y0），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），當M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）在x軸同側，不妨設x1＞0，x2＜0，y1＞0，y2＞0，推導出 ， ，且 ，過M，N作x軸的垂線，垂足分別為M′，N′， ﹣ =﹣ ，由 ，得 ，由此求出 ．當M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）在x軸異側，同理得 ，由此能證明△OMN的面積為定值 ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．