Question

【題目】在直角坐標平面中，已知點，，，…，，其中是正整數，對平面上任一點，記為關于點的對稱點，為關于點的對稱點，…，為關于點的對稱點.

（1）求向量的坐標；

（2）當點在曲線上移動時，點的軌跡是函數的圖像，其中是以3為周期的周期函數，且當時，.求以曲線為圖像的函數在上的解析式；

（3）對任意偶數，用表示向量的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先設點，由題意求出，進而得到，從而可求出向量；

（2）先由題意，得到是由曲線按向量平移得到的；根據圖像變換，以及函數周期，即可得出結果；

（3）先由為關于點的對稱點，為關于點的對稱點，得到，再由向量的運算法則，結合向量的坐標表示，以及等比數列的求和公式，即可求出結果.

（1）設點，因為為關于點的對稱點，所以，

又為關于點的對稱點，

所以，即，

因此；

（2）由（1），

因為點在曲線上移動時，點的軌跡是函數的圖像，

所以的圖像由曲線向右平移個單位，再向上平移個單位得到，

因此，設曲線是函數的圖像，因為是以3為周期的周期函數，

所以也是以為周期的周期函數，

當時，，

所以當時，；

于是，當時，；

（3）由題意，為關于點的對稱點，為關于點的對稱點.

所以在中，為的中點，為的中點，

所以，

因此，

.