Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=2，且B₁、B₂分別是雙曲線虛軸的上、下端點．
（Ⅰ）若雙曲線過點Q（2，

3

），求雙曲線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若A、B是雙曲線上不同的兩點，且

B2A

=λ

B2B

，

B2A

⊥

B1B

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據雙曲線的離心率，求得a和c的關系，進而求得a和b的關系，把點Q代入橢圓方程求得a，進而求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）根據

B2A

=λ

B2B

判斷出A、B₂、B三點共線．根據

B2A

⊥

B1B

判斷出

B2B

⊥

B1B

，進而設直線AB的方程和B₁B的方程聯立求得B的坐標，代入雙曲線方程求得k，則直線AB的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）∵雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，e=2
∴c=2a，b²=c²-a²=3a²，
∴雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，又曲線C過點Q（2，

3

），
∴

4

a2

-

3

3a2

=1，a2=3，b2=9
∴雙曲線方程為

x2

3

-

y2

9

=1.
（Ⅱ）∵

B2A

=λ

B2B

，
∴A、B₂、B三點共線．
∵

B2A

⊥

B1B

，∴

B2B

⊥

B1B

（1）當直線AB垂直x軸時，不合題意．
（2）當直線AB不垂直x軸時，由B₁（0，3），B₂（0，-3），
可設直線AB的方程為y=kx-3，①
∴直線B₁B的方程為y=-

1

k

x+3.②
由①，②知B(

6k

k2+1

，

3k2-3

k2+1

)，代入雙曲線方程得
3×

36k2

(k2+1)2

-

9(k2-1)2

(k2+1)2

=9，得k⁴-6k²+1=0，
解得k=±

2

±1，
故直線AB的方程為y=(±

2

±1)x-3

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．