Question

【題目】已知橢圓，右焦點的坐標為，且點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）過點的直線交橢圓于兩點（直線不與軸垂直），已知點與點關于軸對稱，證明：直線恒過定點，并求出此定點坐標．

Answer 1

【答案】（1），（2）答案見解析.

【解析】

（1）由題意得到關于a,b,c的方程組，求解方程組確定a,b,c的值即可確定橢圓方程和橢圓的離心率；

(2)設，，，聯立直線方程與橢圓方程，由題意可得，結合韋達定理和直線斜率的定義得到m與k的關系，代入直線PB的方程即可證得直線過定點.

（1）由已知得，解得，

∴橢圓的標準方程，

∴橢圓的離心率.

(2)設，，則，

可設的直線方程為，

聯立方程，整理得，

∴，

，∴，

整理得，，

∴，解得，

∴的直線方程為：，

直線恒過定點.