Question

數列{a_n}滿足：a_n+1-a_n=2，a₁=1，等比數列{b_n}滿足：b₁=a₁，b₄=a₁₄．
（1）求a_n，b_n；   
（2）設C_n=a_nb_n，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列通項公式a_n=2n-1，由此求出等比數列公比q=3，由此能求出bn=3n-1．
（2）由C_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，利用錯位相減法，能求出{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}滿足：a_n+1-a_n=2，a₁=1，
∴數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
∴a_n=2n-1，
∵等比數列{b_n}滿足：b₁=a₁=1，b₄=a₁₄=2×14-1=27，
∴1×q³=27，解得q=3，
∴bn=3n-1．
（2）C_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，
∴T_n=1•3⁰+3•3+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1，①
3T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=1+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ
=1+2•

3(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ
=-2-（2n-2）•3ⁿ，
∴Tn=1+(n-1)•3n．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．