Question

已知兩個正三棱錐有公共底面，且內核錐的所有頂點都在同一個球面上，若這兩個正三棱錐的側棱長之比為

3

：1，則這兩個三棱錐的公共底面的面積與該球的表面積之比為

9

3

：64π

．

Answer 1

分析：設正三棱錐D-ABC與正三棱錐F-ABC公共的底面為正△ABC，則△ABC的中心E就是平面ABC截球得小圓的圓心，頂點D、F的連線為球直徑，DF經過E點且DF⊥平面ABC．設BF=m，則Rt△BDF中，可得DF=2m，得到球半徑R=m，斜邊DF上的高BE=

3

2

m．進而算出正△ABC邊長為

3

2

m．由此不難算出正△ABC面積與球的表面積之比．

解答：解：如圖所示，設正三棱錐D-ABC與正三棱錐F-ABC公共的底面為正△ABC，
則△ABC的中心E就是平面ABC截球得小圓的圓心，
頂點D、F的連線為球的直徑，DF經過E點且DF⊥平面ABC．
設球的半徑為R，BF=m，則BD=

3

m，
∴Rt△BDF中，DF=

BF2+BD2

=2m
斜邊DF上的高BE=

BD•BF

BD

=

3

2

m
∵正△ABC中，BE=

3

3

AB，∴AB=

3

BE=

3

2

m
由此可得正△ABC面積S=

3

4

AB²=

9 3

16

m²，
球半徑R=

1

2

DF=m，得球的表面積為S_球=4πR²=4πm²．
∴S_△ABC：S_球=

9 3

16

m²：4πm²=9

3

：64π
故答案為：9

3

：64π

點評：本題給出兩個正三棱錐有公共的底面，在已知側棱長之比的情況下，求底面積與外接球表面積之比．考查了正三棱錐的性質和球內接多面體等知識點，屬于中檔題．