Question

已知兩個正四棱錐有公共底面，且底面邊長為4，兩棱錐的所有頂點都在同一個球面上若這兩個正四棱錐的體積之比為1：2，則該球的表面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據兩個正四棱錐有公共底面，可得棱錐高之和即為球的直徑，結合底面邊長為4，則底面截球所得圓的半徑為2，結合勾股定理求出球半徑可得球的面積．
解答：解：∵兩個正四棱錐有公共底面且兩個正四棱錐的體積之比為1：2，
∴兩個正四棱錐的高的比也為1：2
設兩個棱錐的高分別為X，2X，球的半徑為R
則X+2X=3X=2R
即R=
球心到那個公共底面距離是，
又∵底面邊長為4
∴R²=（）²=（）²+2²，
解得x=
∴R=
該球的表面積S=4πR²=36π
故答案為：36π
點評：本題給出兩個正四棱錐有公共的底面，求外接球表面積，考查了正四棱錐的性質和球內接多面體等知識點，屬于中檔題