Question

【題目】已知函數.

（1）若在定義域上不單調，求的取值范圍；

（2）設，，分別是的極大值和極小值，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）利用導數法求出函數 單調遞增或單調遞減時，參數 的取值范圍為，則可知函數 在定義域上不單調時， 的取值范圍為 ；（2）易知 ，設 的兩個根為 ，并表示出，則，令，則，再利用導數法求的取值范圍.

詳解：

由已知，

（1）①若在定義域上單調遞增，則，即在上恒成立，

而，所以；

②若在定義域上單調遞減，則，即在上恒成立，

而，所以.

因為在定義域上不單調，所以，即.

（2）由（1）知，欲使在有極大值和極小值，必須.

又，所以.

令的兩根分別為，，

即的兩根分別為，，于是.

不妨設，

則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，，

所以

.

令，于是，

，

由，得，

又，所以.

因為，

所以在上為減函數，

所以.