Question

用數學歸納法證明1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

，（n∈N^*）

Answer 1

分析：本題考查的知識點是數學歸納法，由數學歸納法的步驟，我們先判斷n=1時成立，然后假設當n=k時成立，只要能證明出當n=k+1時，立即可得到所有的正整數n都成立

解答：證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=

(1+1)(2+1)

6

=1，即原式成立（2分）
（2）假設當n=k時，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

（6分）
當n=k+1時，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+(k+1)2=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

（10分）
即原式成立
根據（1）和（2）可知等式對任意正整數n都成立
∴1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

（12分）

點評：數學歸納法的步驟：①證明n=1時A式成立②然后假設當n=k時，A式成立③證明當n=k+1時，A式也成立④下緒論：A式對所有的正整數n都成立．