Question

【題目】在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖所示的三角形（楊輝三角）解釋了二項和的乘方規律．右邊的數字三角形可以看作當n依次取0，1，2，3，…時展開式的二項式系數，相鄰兩斜線間各數的和組成數列．例：，，，…．

（1）寫出數列的通項公式（結果用組合數表示），無需證明；

（2）猜想，與的大小關系，并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明詳見解析．

【解析】

（1）根據圖形可直接歸納出結論；

（2）先證明，猜想：，利用數學歸納法證明不等式即可.

（1）

（2）先證明一個事實：對任意的，都有

當n為奇數時，

；

當n為偶數時

．

所以對任意的，都有

當時，

當時，；

當時，．

猜想

下面用數學歸納法證明：

當時，成立．

假設當時，

成立，

那么當時

．

所以當時．命題也成立．

綜上，對任意的，成立．