Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）若函數在定義域上單調增，求的取值范圍；

（3）若函數在定義域上不單調，試判定的零點個數，并給出證明過程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）函數必有三個不同零點，證明詳見解析．

【解析】

（1）求導后可得即為切線斜率，再求出，利用點斜式即可得解；

（2）轉化條件得在時恒成立，令，對求導后求出，令即可得解；

（3）由題意若函數在定義域上不是單調函數，設，求導后，即可確定函數的零點個數，結合即可得解.

（1）當時，，

則，，

則在處的切線斜率為，

所以函數在處的切線方程為即；

（2）因為．

所以的定義域為，，

又因為函數在定義域上為單遞增函數，

所以在時恒成立，

即在時恒成立，

設，

則，

當時，，則在上為減函數，

當時，，則在上為增函數，

所以在時恒成立，

所以；

（3）因為，

所以，則不可能對恒成立，

即在定義域上不可能始終都為減函數，

由（2）知函數為增函數，

所以若函數在定義域上不是單調函數，

又因為，所以是函數一個零點，

令即，

設，則與有相同的零點，

令，得，

因為，所以，

所以有兩個不相等實數解，，

因為，，所以不妨設，

當時，，在為增函數；

當時，，在為減函數；

當時，，在為增函數；

則，，

又因為時，，，

所以，，

又因為在圖象不間斷，所以在上有唯一零點；

又因為在圖象不間斷，所以在上有唯一零點；

又因為是函數一個零點，

綜上，函數必有三個不同零點．