Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且f（2）=0，當x＞0時，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，則不等式x²f（x）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數單調性的性質

專題：導數的綜合應用

分析：根據條件構造函數g（x）=

f(x)

x

，利用函數的單調性和導數之間的關系，判斷函數g（x）的單調性，然后根據函數f（x）的奇偶性判斷函數f（x）的取值情況，即可求得不等式的解集．

解答： 解：構造函數g（x）=

f(x)

x

，g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
因為當x＞0時，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，即g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，
所以在（0，+∞）內g（x）單調遞減．
因為f（2）=0，所以f（x）在（0，2）內恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內恒有f（x）＜0．
又因為f（x）是定義在R上的奇函數，
所以在（-∞，-2）內恒有f（x）＞0；在（-2，0）內恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集等價為不等式f（x）＞0的解集．
所以不等式的解集為（-∞，-2）∪（0，2）．
故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）．

點評：本題主要考查函數求導法則及函數單調性與導數的關系，同時考查了奇偶函數的圖象特征．構造函數是解決本題的關鍵．