Question

【題目】（1）討論函數f (x)＝x＋－2的單調性；

（2）證明：函數g (x)＝－lnx有極小值點x0，且g (x0)∈(0，)．

Answer 1

【答案】（1）在(－∞，－) ，(，＋∞)單調遞增，在(－，0) ，(0，) 單調遞減．

（2）見解析.

【解析】

（1）對函數求導，對分成和兩類，討論函數的單調區間.（2）對函數求導，注意到其導函數是遞增函數，用二分法判斷出導函數有唯一零點，設這個零點為，即，由此得到，化簡，由（1）可求得的取值范圍.

（1）f (x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝．

若a≤0，則f′(x)＞0，f (x)在(－∞，0) ，(0，＋∞)單調遞增．

若a＞0，當x＜－或x＞－時，f′(x)＞0；

當－＜x＜0或0＜x＜時，f′(x)＜0．所以f (x)在(－∞，－) ，(，＋∞)單調遞增，

在(－，0) ，(0，) 單調遞減．

（2）g (x)定義域(0，＋∞)，g′ (x)＝－在 (0，＋∞)單調遞增．

由g′ (1)＝－1＜0，g′ (2)＝＞0，故g′ (x)在(0，＋∞)存在唯一零點x0，且x0∈(1，2)．

當x∈(1，x0)時，g′ (x)＜0；當x∈(x0，＋∞)時，g′ (x)＞0．所以g (x)≥g (x0)．

又由g′ (x0)＝0，可得＝，所以lnx0＝2－x0．

可得g (x0)＝x0＋－2，由（1）知g (x0)＝x0＋－2在(1，2)單調遞增，所以g (x0) ∈(0，)．