Question

【題目】如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發射后的軌跡在方程y＝kx－ (1＋k2)x2(k＞0)表示的曲線上，其中k與發射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.

(1)求炮的最大射程；

(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解 (1)令y＝0，得

kx－ (1＋k2)x2＝0，

由實際意義和題設條件知x＞0，k＞0，

故x＝＝≤＝10，

當且僅當k＝1時取等號.

所以炮的最大射程為10千米.

(2)因為a＞0，所以炮彈可擊中目標 存在k＞0，

使3.2＝ka－ (1＋k2)a2成立 關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根

判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 a≤6.

所以當a不超過6千米時，可擊中目標.