Question

（本小題満分12分）
已知一條曲線上的每個點M到A（1,0）的距離減去它到y軸的距離差都是1．
（1）求曲線的方程;
（2）討論直線y=kx+1（k∈R）與曲線的公共點個數

Answer 1

解：（1）設點M（x,y）是曲線上任意一點,則-|x|=1，
化簡得:y²=2x+2|x|
所求曲線的方程．C₁：當x³0時， y²=4x；C₂：當x<0時，y=0．
（2）直線y=kx+1過定點（0,1），
y=kx+1，與y²=4x聯列：ky²-4y+4="0," D=16-16k
當k=0時,直線與C₁有一個公共點,而與C₂沒有公共點,共1個公共點;
當k=1時, D=0，直線與C₁和C₂各一個公共點,共2個公共點;
當0<k<1時，D>0,直線與C₁有2個公共點，和C₂一個交點,共3個公共點;
當k<0時，D>0,直線與C₁有兩個公共點，和C₂沒有公共點,共2個公共點;
當k>1時, D<0,直線與C₁沒有公共點，和C₂有1個公共點,共1個公共點;
所以:當k=0,或k>1時,直線與曲線有1個公共點;
當k=1,或k<0時,直線與曲線有2個公共點;
當0<k<1時,直線與曲線有3個公共點．

略