Question

已知數(shù)列{a_n}的前n和為S_n，且滿足an=

1

2

Sn+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若bn=log2an，cn=

1

bnbn+2

，且數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n得取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a_n=

1

2

S_n+1，知a_n-1=

1

2

S_n-1+1（n≥2），從而a_n=2a_n-1（n≥2），由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=n，cn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，裂項相消得Tn=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，可求范圍

解答：解：（1）∵a_n=

1

2

S_n+1①
∴a_n-1=

1

2

S_n-1+1（n≥2）②
①-②得：a_n=2a_n-1（n≥2），又a₁=

1

2

S1+1，則a₁=2
由等比數(shù)列的通項公式可得，a_n=2ⁿ（4分）
（2）∵b_n=log₂a_n=n，cn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
裂項相消可得Tn=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)（8分）
∵T1≤Tn＜

3

4

即

1

3

≤Tn＜

3

4

（10分）

點評：本題考查利用遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列通項公式，數(shù)列求和的和裂項求和法的應(yīng)用，解題時要靈活運用數(shù)列單調(diào)性