Question

【題目】如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊AC，BC上，，連接BD，點(diǎn)F，P，G分別為AB，BD，DE的中點(diǎn).

（1）如圖1中，線段PF與PG的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；

（2）若把△ CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接AD，BE，GF，判斷△ FGP的形狀，并說明理由；

（3）若把△ CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，AC=8，CD=3，請求出△FGP面積的最大值.

Answer 1

【答案】1）PF=PG PF⊥PG；（2）△FGP是等腰直角三角形，理由見解析；（3）S△PGF最大=.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的中位線定理解答即可；

（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠ACD=∠BCE，進(jìn)一步證明△CAD≌△CBE，再利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理解答；

（3）由（2）知，△FGP是等腰直角三角形，PG=PF=AD，PG最大時(shí)，△FGP面積最大，進(jìn)而解答即可.

解（1）PF=PG PF⊥PG；

如圖1，∵在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)，分別在邊AC，BC上，且CD=CE,

∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE，點(diǎn)F、P、G分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，

∴PF=AB，PG=CE，

∴PF=PG，

∵點(diǎn)F、P、G分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，

∴PG//BE，PF//AD，

∴∠PFB=∠A，∠DPG=∠DBC，

∴∠FPG=∠DPF+∠DPG

=∠PFB+∠DBA+∠DPG

=∠A+∠DBA+∠DBC

=∠A+∠ABC，

∵∠ABC+∠ACB=180°-∠C

∴∠FPG=180°-90°=90°，PF⊥PG；

（2）△FGP是等腰直角三角形

理由：由旋轉(zhuǎn)知，∠ACD=∠BCE，

∵AC=BC，CD=CE，

∴△CAD≌△CBE（SAS），

∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，

利用三角形的中位線得，PG=BE，PF=AD，

∴PG=PF，

∴△FGP是等腰三角形，

利用三角形的中位線得，PG∥CE，

∴∠DPG=∠DBE，

利用三角形的中位線得，PF∥AD，

∴∠PFB=∠DAB，

∵∠DPF=∠DBA+∠PNB=∠DBA+∠DAB，

∴∠GPF=∠DPG+∠DPF=∠DBE+∠DBA+∠DAB

=∠ABE+∠DAB=∠CBA+∠CBE+∠DAB

=∠CBA+∠CAD+∠DAB=∠CBA+∠CAB，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBA+∠CAB=90°，

∴∠GPF=90°，

∴△FGP是等腰直角三角形;

（3）由（2）知，△FGP是等腰直角三角形，PG=PF=AD，

∴PG最大時(shí)，△FGP面積最大，

∴點(diǎn)D在AC的延長線上，

∴AD=AC+CD=11，

∴PG=，

∴S△PGF最大=PG2=