Question

已知函數，，(其中)，設.

（Ⅰ）當時,試將表示成的函數,并探究函數是否有極值；

（Ⅱ）當時，若存在，使成立，試求的范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時在定義域內有且僅有一個極值，當時在定義域內無極值;

（Ⅱ）或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）觀察與的特點，可得，，，即可得到函數，觀察此函數特征可想到對其求導得，由二次函數的圖象不難得出在上有解的條件，進而求出的范圍; （Ⅱ）由可得，又由可得，故可令函數的最大值為正，對函數求導令其為0得求出，由與，和與的大小關系對進行分類討論，并求出各自情況的最大值，由最大值大于零即可求出的范圍．

試題解析：（Ⅰ）∵,

,

∴ ∴       (3分)

  設是的兩根，則，∴在定義域內至多有一解,

欲使在定義域內有極值，只需在內有解，且的值在根的左右兩側異號，∴得                (6分)

綜上：當時在定義域內有且僅有一個極值，當時在定義域內無極值．

（Ⅱ）∵存在，使成立等價于的最大值大于0，

∵，∴,

∴得.

當時，得；

當時，得           (12分)

當時，不成立                (13分)

當時，得；

當時，得；

綜上得：或               (16分)

考點：1.代數式的化簡;2.函數的極值;3.導數在函數中的運用