Question

已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在其內部有一個高為2的內接圓柱．
（1）求圓柱的側面積：
（2）高為何值時，圓柱的側面積最大？

Answer 1

分析：（1）由題設條件能畫出圓錐及其內接圓柱的軸截面，在圓錐內部有一個高為x的內接圓柱，設所求的圓柱的底面半徑為r．它的側面積S=2πrx，由

r

R

=

h-x

h

，能求出圓柱的側面積．
（2）由圓柱的側面積S是關于x的二次函數S=-

2πR

h

x²+2πRx，能推導出當圓柱的高是已知圓錐的一半時，它的側面積最大．

解答：解：（1）圓錐及其內接圓柱的軸截面如圖所示．
設所求的圓柱的底面半徑為r．它的側面積S=2πrx，
∵

r

R

=

h-x

h

，∴r=R-

R

h

•x，
∴S=2πRx-

2πR

h

x²．
當x=2時，圓柱的側面積為4πR-

8πR

H

．
（2）由（1）知圓柱的側面積S是關于x的二次函數：
S=-

2πR

h

x²+2πRx，
∵S的表達式中x²的系數小于0，
∴這個二次函數有最大值，
這時圓柱的高x=

H

2

，
即當圓柱的高是已知圓錐的一半時，它的側面積最大．

點評：本題考查圓柱的側面積的求法，考查圓柱的側面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．