Question

已知一個圓錐的底面半徑為R，高為h，在圓錐內部有一個高為x的內接圓柱．
（1）畫出圓錐及其內接圓柱的軸截面；
（2）求圓柱的側面積；
（3）x為何值時，圓柱的側面積最大？最大側面積為多少？

Answer 1

分析：（1）利用圓錐畫出圓錐及其內接圓柱的軸截面；
（2）利用條件結合圓柱的側面積公式求圓柱的側面積；
（3）利用二次函數的圖象和性質求圓柱的側面積的最大值．

解答：解：（1）如下圖：
 

（2）設圓柱的底面半徑為r，
則

r

R

=

h-x

h

，
∴r=

h-x

h

•R=R-

x

h

•R．
∴圓柱側面積S=2πr•x=2π(R-

x

h

•R)x=-

2πR

h

x2+2πRx（0＜x＜h）．
（3）由（2）知：圓柱側面積S=-

2πR

h

x2+2πRx=-

2πR

h

(x-

h

2

)2+

πRh

2

（0＜x＜h）
∴當x=

h

2

時，圓柱側面積最大，最大側面積為

πRh

2

．

點評：本題主要考查圓錐和圓柱的側面積的計算，利用一元二次函數的單調性求側面積的最值是解決本題的關鍵．