Question

（2010•天津模擬）已知函數f(x)=1+cos2x-2sin2(x-

π

6

)，其中x∈R，則下列結論中正確的是（　　）

• A．f（x）的最大值為2
• B．將函數y=

  3

  sin2x的圖象左移

  π

  6

  得到函數f（x）的圖象
• C．f（x）是最小正周期為π的偶函數
• D．f（x）的一條對稱軸是x=

  π

  3

Answer 1

分析：把函數解析式第三項利用二倍角的余弦函數公式化簡，約分合并后再利用和差化積公式及特殊角的三角函數值化為一個角的余弦函數，
A、由余弦函數的值域得到函數的最大值，即可作出判斷；
B、根據三角函數平移規律：左加右減及誘導公式變形求出函數y=

3

sin2x的圖象左移

π

3

得到的函數解析式，即可作出判斷；
C、找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

求出函數的最小正周期，同時根據余弦函數為偶函數得到f（x）也為偶函數，即可作出判斷；
D、根據余弦函數的對稱軸為kπ，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，根據k為正整數，可判斷x=

π

3

不是函數的對稱軸．

解答：解：f(x)=1+cos2x-2sin2(x-

π

6

)
=1+cos2x-2×

1-cos(2x- π 3 )

2

=cos2x+cos（2x-

π

3

）
=2cos（2x-

π

6

）cos

π

6

=

3

cos（2x-

π

6

），
∴函數的最大值為

3

，故選項A錯誤；
將函數y=

3

sin2x的圖象左移

π

3

得到函數
y=

3

sin2（x+

π

3

）=

3

sin（2x+

2π

3

）的圖象，
即為y=cos（2x+

π

6

）的圖象，故選項B錯誤；
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，且由余弦函數為偶函數得到f（x）為偶函數，
故選項C正確；
根據余弦函數的圖象與性質得：2x-

π

6

=kπ，k∈Z，解得：x=

kπ

2

+

π

12

，
若x=

π

3

是函數的對稱軸，則有x=

kπ

2

+

π

12

=

π

3

，解得k=

1

2

，不合題意，
故選項D錯誤，
故選C

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，二倍角的余弦函數公式，積化和差公式，余弦函數的對稱性及奇偶性，以及三角函數圖象的平移規律，其中靈活運用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的余弦函數是解本題的關鍵．