Question

（2010•天津模擬）給出下列四個命題：
①已知a=

∫

π 0

sinxdx，點(

3

，a)到直線

3

x-y+1=0的距離為1；
②若f'（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀取得極值；
③m≥-1，則函數y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域為R；
④在極坐標系中，點P(2，

π

3

)到直線ρsin(θ-

π

6

)=3的距離是2．
其中真命題是

①③④

（把你認為正確的命題序號都填在橫線上）

Answer 1

分析：①先利用微積分基本定理求定積分的值，得a值，再利用點到直線的距離公式計算距離即可判斷；②舉反例即可判斷其為假命題；③當對數函數的真數能取遍一切正數時，其值域為R，據此即可判斷；④先將極坐標化為直角坐標，將極坐標方程化為直角坐標方程，再利用點到直線的距離公式即可作出判斷

解答：解：①∵a=∫_π⁰sinxdx，a=∫₀^πsinxdx=-cosx|₀^π=-cosπ+cos0=2
∴(

3

，2)到直線

3

x-y+1=0的距離為d=

| 3 × 3 -2+1|

3+1

=1，故①為真命題
②例如f（x）=x³，f′（0）=0，但在x=0不取極值，故②為假命題
③若m≥-1，則二次函數y=x²-2x-m的判別式△=4+4m≥0，其函數值可取遍一切正數，故函數y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域為R，③為真命題
④將極坐標化為直角坐標，即點P（2cos

π

3

，2sin

π

3

），即P（1，

3

），直線ρsin(θ-

π

6

)=3即ρsinθcos

π

6

-ρcosθsin

π

6

=3化為直角坐標方程為

3

2

y-

1

2

x=3
∴點P（1，

3

）到直線

3

2

y-

1

2

x=3的距離為d=

| 3 2 × 3 - 1 2 ×1-3|

1 4 + 3 4

=2，故④為真命題
故答案為①③④

點評：本題綜合考察了定積分的求法，點到直線的距離公式，函數極值的意義，對數函數的值域，極坐標與直角坐標的互化等基礎知識