Question

已知數列{a_n}中，a1=

1

2

，且當x=

1

2

時，函數f(x)=

1

2

an•x2-an+1•x取得極值．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數列{b_n}滿足：b₁=2，bn+1-2bn=

1

an+1

，證明：{

bn

2n

}是等差數列，并求數列{b_n}的通項公式通項及前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）由當x=

1

2

時，函數f(x)=

1

2

an•x2-an+1•x取得極值，先求出函數f(x)=

1

2

an•x2-an+1•x的導數，得
f′（x）=a_n•x-a_n+1，再由x=2時，導數為0得

1

2

an=an+1，進而用等比數列的通項公式去求．
（Ⅱ）可通過證明數列{

bn

2n

}的后一項減前一項是同一常數，來證明明數列{

bn

2n

}是等差數列．再用錯位相減法求和．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=a_n•x-a_n+1（1分）
由題意f′(

1

2

)=0得

1

2

an=an+1（3分）
∴數列{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，∴an=(

1

2

)n（5分）
（Ⅱ）由（1）知b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹，∴b_n+1=2b_n+2ⁿ⁺¹
∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=

2n+1

2n+1

=1
∴{

bn

2n

}是以1為首項，1位公差的等差數列（7分）
∴

bn

2n

=1+(n-1)=n，∴b_n=n•2ⁿ（8分）
S_n=1•2+2•2²++n•2ⁿ，2S_n=1•2²++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減得：-S_n=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2（11分）
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（12分）

點評：此題主要考查了數列通項公式的求法，以及錯位相減法求數列和，做題時要認真審題，發現規律．